Toán hữu hạn Ví dụ

$\log (x - 2) + \log (x + 2) > 2 \log (x - 1)$

Bước 1

Quy đổi bất đẳng thức thành một đẳng thức.

$\log (x - 2) + \log (x + 2) = 2 \log (x - 1)$

Bước 2

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x - 2) (x + 2)) = 2 \log (x - 1)$

Bước 2.1.2

Khai triển $(x - 2) (x + 2)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\log (x (x + 2) - 2 (x + 2)) = 2 \log (x - 1)$

Bước 2.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\log (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 (x + 2)) = 2 \log (x - 1)$

Bước 2.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\log (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

Bước 2.1.3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $x \cdot 2$ và $- 2 x$ .

$\log (x \cdot x + 2 x - 2 x - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

Bước 2.1.3.1.2

Trừ $2 x$ khỏi $2 x$ .

$\log (x \cdot x + 0 - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

Bước 2.1.3.1.3

Cộng $x \cdot x$ và $0$ .

$\log (x \cdot x - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

Bước 2.1.3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.2.1

Nhân $x$ với $x$ .

$\log (x^{2} - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

Bước 2.1.3.2.2

Nhân $- 2$ với $2$ .

$\log (x^{2} - 4) = 2 \log (x - 1)$

Bước 2.2

Rút gọn $2 \log (x - 1)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\log (x^{2} - 4) = \log ({(x - 1)}^{2})$

Bước 2.3

Để cân bằng phương trình, đối số của logarit trên cả hai vế của phương trình phải cân bằng.

$x^{2} - 4 = {(x - 1)}^{2}$

Bước 2.4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Rút gọn ${(x - 1)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.1

Viết lại.

$x^{2} - 4 = 0 + 0 + {(x - 1)}^{2}$

Bước 2.4.1.2

Viết lại ${(x - 1)}^{2}$ ở dạng $(x - 1) (x - 1)$ .

$x^{2} - 4 = (x - 1) (x - 1)$

Bước 2.4.1.3

Khai triển $(x - 1) (x - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} - 4 = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Bước 2.4.1.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} - 4 = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Bước 2.4.1.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} - 4 = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Bước 2.4.1.4

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.4.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Bước 2.4.1.4.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Bước 2.4.1.4.1.3

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Bước 2.4.1.4.1.4

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Bước 2.4.1.4.1.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} - x - x + 1$

Bước 2.4.1.4.2

Trừ $x$ khỏi $- x$ .

$x^{2} - 4 = x^{2} - 2 x + 1$

Bước 2.4.2

Vì $x$ nằm ở vế phải phương trình, ta hoán đổi vế để nó nằm ở vế trái của phương trình.

$x^{2} - 2 x + 1 = x^{2} - 4$

Bước 2.4.3

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $x$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.1

Trừ $x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} - 2 x + 1 - x^{2} = - 4$

Bước 2.4.3.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x^{2} - 2 x + 1 - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.2.1

Trừ $x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$- 2 x + 1 + 0 = - 4$

Bước 2.4.3.2.2

Cộng $- 2 x + 1$ và $0$ .

$- 2 x + 1 = - 4$

Bước 2.4.4

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $x$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 2 x = - 4 - 1$

Bước 2.4.4.2

Trừ $1$ khỏi $- 4$ .

$- 2 x = - 5$

Bước 2.4.5

Chia mỗi số hạng trong $- 2 x = - 5$ cho $- 2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.5.1

Chia mỗi số hạng trong $- 2 x = - 5$ cho $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Bước 2.4.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Bước 2.4.5.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 2}$

Bước 2.4.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.5.3.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$x = \frac{5}{2}$

Bước 3

Tìm tập xác định của $\log (\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt giá trị đối số trong $\log (\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}})$ lớn hơn $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}} > 0$

Bước 3.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tìm tất cả các giá trị mà tại đó biểu thức chuyển từ âm sang dương bằng cách đặt từng thừa số bằng $0$ và giải.

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

Bước 3.2.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 2$

Bước 3.2.3

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 3.2.4

Đặt $x - 1$ bằng $0$ .

$x - 1 = 0$

Bước 3.2.5

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Bước 3.2.6

Giải tìm từng thừa số để tìm các giá trị mà giá trị tuyệt đối của biểu thức đi từ âm sang dương.

$x = - 2$

$x = 2$

$x = 1$

Bước 3.2.7

Hợp nhất các đáp án.

$x = - 2, 2, 1$

Bước 3.2.8

Tìm tập xác định của $\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.8.1

Đặt mẫu số trong $\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

${(x - 1)}^{2} = 0$

Bước 3.2.8.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.8.2.1

Đặt $x - 1$ bằng $0$ .

$x - 1 = 0$

Bước 3.2.8.2.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Bước 3.2.8.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Bước 3.2.9

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$1 < x < 2$

$x > 2$

Bước 3.2.10

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.10.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.10.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 4$

Bước 3.2.10.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{((- 4) + 2) ((- 4) - 2)}{{((- 4) - 1)}^{2}} > 0$

Bước 3.2.10.1.3

Vế trái $0.48$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 3.2.10.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 2 < x < 1$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.10.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 2 < x < 1$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 3.2.10.2.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{((0) + 2) ((0) - 2)}{{((0) - 1)}^{2}} > 0$

Bước 3.2.10.2.3

Vế trái $- 4$ không lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 3.2.10.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $1 < x < 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.10.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $1 < x < 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 1.5$

Bước 3.2.10.3.2

Thay thế $x$ bằng $1.5$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{((1.5) + 2) ((1.5) - 2)}{{((1.5) - 1)}^{2}} > 0$

Bước 3.2.10.3.3

Vế trái $- 7$ không lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 3.2.10.4

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.10.4.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 4$

Bước 3.2.10.4.2

Thay thế $x$ bằng $4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{((4) + 2) ((4) - 2)}{{((4) - 1)}^{2}} > 0$

Bước 3.2.10.4.3

Vế trái $1.\overline{3}$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 3.2.10.5

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - 2$ Đúng

$- 2 < x < 1$ Sai

$1 < x < 2$ Sai

$x > 2$ Đúng

$x < - 2$ Đúng

$- 2 < x < 1$ Sai

$1 < x < 2$ Sai

$x > 2$ Đúng

Bước 3.2.11

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x < - 2$ hoặc $x > 2$

Bước 3.3

Đặt mẫu số trong $\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

${(x - 1)}^{2} = 0$

Bước 3.4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Đặt $x - 1$ bằng $0$ .

$x - 1 = 0$

Bước 3.4.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Bước 3.5

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$(- \infty, - 2) \cup (2, \infty)$

Bước 4

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x > \frac{5}{2}$

Bước 5

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng bất đẳng thức:

$x > \frac{5}{2}$

Ký hiệu khoảng:

$(\frac{5}{2}, \infty)$

Bước 6